CMMDC și CMMMC — cum se calculează
Cum calculezi cel mai mare divizor comun (CMMDC) și cel mai mic multiplu comun (CMMMC) prin descompunere în factori primi, cu exemple și probleme tipice.
CMMDC și CMMMC — cum se calculează
Ambele se calculează cel mai sigur prin descompunerea în factori primi. Regula de reținut:
| Ce factori iei | La ce putere | |
|---|---|---|
| CMMDC (a, b) | doar factorii comuni | puterea cea mai mică |
| CMMMC [a, b] | factorii comuni și necomuni | puterea cea mai mare |
Exemplu complet
Calculați (72, 120) și [72, 120].
Descompunem: 72 = 2³ × 3² și 120 = 2³ × 3 × 5.
- CMMDC: factorii comuni sunt 2 și 3, la puterile cele mai mici: (72, 120) = 2³ × 3 = 24.
- CMMMC: toți factorii (2, 3, 5), la puterile cele mai mari: [72, 120] = 2³ × 3² × 5 = 360.
Verificare utilă: (a, b) × [a, b] = a × b. Aici: 24 × 360 = 8 640 = 72 × 120. ✓
Când folosești CMMDC și când CMMMC în probleme
- CMMDC — când împarți ceva în părți egale cât mai mari: „câte pachete identice, cât mai mari, pot face din 72 de creioane și 120 de caiete?" → 24 de pachete.
- CMMMC — când ceva se repetă și cauți prima întâlnire: „două autobuze pleacă acum împreună; unul revine la 72 de minute, celălalt la 120. După cât timp pleacă din nou împreună?" → 360 de minute.
Problemă tipică de examen
Aflați cel mai mic număr natural care împărțit pe rând la 12 și la 18 dă de fiecare dată restul 5.
Numărul căutat este cu 5 mai mare decât un multiplu comun al lui 12 și 18. Cel mai mic multiplu comun nenul: [12, 18] = 36. Răspuns: 36 + 5 = 41. Verificare: 41 = 12 × 3 + 5 și 41 = 18 × 2 + 5. ✓
Numere prime între ele
Dacă (a, b) = 1, numerele sunt prime între ele. Atunci [a, b] = a × b. Exemplu: (8, 15) = 1, deci [8, 15] = 120.
Greșeli frecvente
- Inversarea regulilor: la CMMDC se iau puterile mici, la CMMMC cele mari. Reține: divizorul e mai mic decât numerele, multiplul mai mare.
- La CMMDC se iau doar factorii comuni — un factor care apare într-un singur număr nu intră.
- „Prime între ele" nu înseamnă că numerele sunt prime — 8 și 15 sunt ambele compuse.
Întrebări frecvente
Ce este CMMDC?
Cel mai mare divizor comun a două numere este cel mai mare număr care le divide pe amândouă. Se notează (a, b). Exemplu: (12, 18) = 6.
Ce este CMMMC?
Cel mai mic multiplu comun a două numere este cel mai mic număr nenul care se divide cu amândouă. Se notează [a, b]. Exemplu: [12, 18] = 36.
Cum calculez CMMDC și CMMMC prin descompunere?
Descompui numerele în factori primi. CMMDC = produsul factorilor comuni, la puterea cea mai mică. CMMMC = produsul factorilor comuni și necomuni, la puterea cea mai mare.
Ce sunt numerele prime între ele?
Două numere cu CMMDC egal cu 1, adică fără divizori comuni în afară de 1. Exemplu: 8 și 15. Numerele nu trebuie să fie ele însele prime: 8 și 15 sunt compuse, dar prime între ele.
Utile pentru școală· din aceeași rețea