Numerele naturale — scriere, comparare și operații
Numerele naturale — lecție completă
Numerele naturale sunt numerele cu care numărăm obiectele: 0, 1, 2, 3, 4, … Mulțimea lor se notează cu N = {0, 1, 2, 3, …}, iar fără zero cu N* = {1, 2, 3, …}.
Scrierea în baza 10
Orice număr natural se scrie cu cifrele 0–9, iar fiecare cifră are o valoare după poziție: unități, zeci, sute, mii… De exemplu:
4 725 = 4 × 1000 + 7 × 100 + 2 × 10 + 5
Când un număr are cifre necunoscute, îl scriem cu bară deasupra în caiet (aici cu bară alăturată): numărul ab (a = cifra zecilor, b = cifra unităților) înseamnă 10a + b — scriere-cheie în multe probleme.
Compararea numerelor naturale
- Numărul cu mai multe cifre este mai mare: 1 000 > 999.
- La același număr de cifre, se compară cifrele de la stânga la dreapta: 4 725 > 4 698, pentru că miile sunt egale, iar la sute 7 > 6.
Cele patru operații și denumirile termenilor
| Operația | Scriere | Denumiri |
|---|---|---|
| Adunarea | a + b = s | a, b = termeni; s = sumă |
| Scăderea | a − b = d | a = descăzut, b = scăzător, d = diferență (rest) |
| Înmulțirea | a × b = p | a, b = factori; p = produs |
| Împărțirea | a : b = c | a = deîmpărțit, b = împărțitor, c = cât |
Proprietățile adunării și înmulțirii
- Comutativitatea: a + b = b + a și a × b = b × a.
- Asociativitatea: (a + b) + c = a + (b + c) și (a × b) × c = a × (b × c).
- Element neutru: 0 la adunare (a + 0 = a) și 1 la înmulțire (a × 1 = a).
- Distributivitatea înmulțirii față de adunare: a × (b + c) = a × b + a × c — baza „factorului comun".
Împărțirea cu rest — teorema împărțirii cu rest
Pentru orice numere naturale D și Î (Î ≠ 0) există un cât C și un rest R, unice, astfel încât:
D = Î × C + R, cu R < Î
Exemplu: 47 : 6 → 47 = 6 × 7 + 5. Câtul este 7, restul 5 (și 5 < 6, cum trebuie).
Verificarea temei: după orice împărțire cu rest, înmulțește câtul cu împărțitorul și adună restul — trebuie să obții exact deîmpărțitul.
Problemă rezolvată
Suma a trei numere naturale consecutive este 96. Aflați numerele.
Notăm numerele n, n + 1, n + 2. Atunci n + (n + 1) + (n + 2) = 96, adică 3n + 3 = 96, deci 3n = 93 și n = 31. Numerele sunt 31, 32 și 33. Verificare: 31 + 32 + 33 = 96. ✓
Greșeli frecvente
- Scăderea și împărțirea nu sunt comutative: 7 − 3 ≠ 3 − 7 și 8 : 4 ≠ 4 : 8.
- Împărțirea la 0 nu are sens — împărțitorul trebuie să fie diferit de zero.
- La împărțirea cu rest, restul nu poate fi egal sau mai mare decât împărțitorul: dacă îți iese, câtul mai poate crește.