Numerele raționale — operații și exemple

Lecție despre numerele raționale: ce cuprinde mulțimea Q, fracții negative, cele patru operații și puteri cu exponent întreg, cu exerciții rezolvate.

Numerele raționale — lecție completă

Un număr rațional este orice număr care se poate scrie ca fracție a/b cu a, b ∈ Z și b ≠ 0. Mulțimea lor se notează Q. Sunt raționale:

toate numerele întregi: 7 = 7/1, −3 = −3/1;
fracțiile ordinare, pozitive sau negative: 3/4, −5/2;
zecimalele finite: 0,75 = 3/4;
zecimalele periodice: 0,(3) = 1/3.

Lanțul incluziunilor: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Numerele care nu sunt raționale (√2, π) se numesc iraționale.

Semnul unei fracții

Minusul poate sta oriunde: −3/4 = (−3)/4 = 3/(−4). Convenția: îl scriem în fața fracției sau la numărător.

Operațiile — combină regulile de la fracții cu regula semnelor

Operația	Exemplu
Adunarea (același numitor)	−1/2 + 1/3 = −3/6 + 2/6 = −1/6
Scăderea	1/4 − 5/4 = −4/4 = −1
Înmulțirea	(−2/3) × (−9/4) = 18/12 = 3/2
Împărțirea	(−5/6) : 10/3 = −5/6 × 3/10 = −1/4

Puteri cu exponent negativ

Prin definiție, a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0). Exemple: 2⁻³ = 1/8; (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4 — la exponent negativ, fracția se inversează.

Exercițiu rezolvat

Calculați: (−3/4 + 1/2) : (−1/8)

Paranteza: −3/4 + 1/2 = −3/4 + 2/4 = −1/4.
Împărțirea: −1/4 : (−1/8) = −1/4 × (−8/1) = 8/4 = 2.

Media aritmetică a două numere raționale

(a + b) : 2. Exemplu: media dintre −1/2 și 5/2 este (−1/2 + 5/2) : 2 = 2 : 2 = 1. Între oricare două numere raționale există o infinitate de alte numere raționale.

Greșeli frecvente

Uitarea regulii semnelor când lucrezi cu fracții negative — semnul se stabilește înainte de calculul cu module.
2⁻¹ nu este −2, ci 1/2 — exponentul negativ inversează, nu schimbă semnul.
0 nu poate fi numitor: expresia a/0 nu are sens.

Întrebări frecvente

Ce sunt numerele raționale?

Numerele care se pot scrie ca fracție a/b, cu a și b întregi și b ≠ 0. Mulțimea lor se notează cu Q și cuprinde toate numerele întregi, fracțiile și zecimalele finite sau periodice.

Orice număr întreg este rațional?

Da: orice întreg n se scrie n/1. De aceea N ⊂ Z ⊂ Q — mulțimile de numere sunt incluse una în alta.

Există numere care nu sunt raționale?

Da — numerele iraționale, care nu se pot scrie ca fracție de întregi: √2, √3, π. Zecimalele lor sunt infinite și neperiodice. Împreună cu Q formează mulțimea numerelor reale R.

Cum împart două numere raționale?

Înmulțești cu inversul: a/b : c/d = a/b × d/c. Regula semnelor rămâne cea de la numerele întregi.