Pătratele perfecte și cuburile perfecte — liste complete
Lista pătratelor perfecte și a cuburilor perfecte până la 20, ultima cifră a unui pătrat perfect și cum arăți că un număr nu este pătrat perfect.
Pătratele perfecte și cuburile perfecte
Liste de referință pentru calcule rapide, radicali și exercițiile „arătați că numărul nu este pătrat perfect".
Pătratele perfecte până la 20²
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 11 | 121 |
| 2 | 4 | 12 | 144 |
| 3 | 9 | 13 | 169 |
| 4 | 16 | 14 | 196 |
| 5 | 25 | 15 | 225 |
| 6 | 36 | 16 | 256 |
| 7 | 49 | 17 | 289 |
| 8 | 64 | 18 | 324 |
| 9 | 81 | 19 | 361 |
| 10 | 100 | 20 | 400 |
Alte pătrate utile: 25² = 625, 30² = 900, 50² = 2500, 100² = 10 000.
Cuburile perfecte până la 10³
| n | n³ | n | n³ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 216 |
| 2 | 8 | 7 | 343 |
| 3 | 27 | 8 | 512 |
| 4 | 64 | 9 | 729 |
| 5 | 125 | 10 | 1000 |
Ultima cifră a unui pătrat perfect
Un pătrat perfect se poate termina doar în 0, 1, 4, 5, 6 sau 9. Niciodată în 2, 3, 7 sau 8.
Aplicație tip examen: „Arătați că n = 3 + 3² + 3³ + … nu este pătrat perfect." Dacă arăți că ultima cifră a lui n este 2, 3, 7 sau 8 — sau că n se află strict între două pătrate consecutive — demonstrația e gata.
Metoda încadrării între pătrate consecutive
Este 200 pătrat perfect? 14² = 196 < 200 < 225 = 15². Cum 200 este strict între două pătrate consecutive, nu este pătrat perfect.
Alte proprietăți utile
- Un pătrat perfect are în descompunerea în factori primi toți exponenții pari: 36 = 2² × 3². Un cub perfect are toți exponenții divizibili cu 3.
- Radicalul unui pătrat perfect este exact: √144 = 12; pentru rest, scoți factorii: √180 = 6√5.
- Suma primelor n numere impare este n²: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4².
Greșeli frecvente
- Terminarea în 1, 4, 5, 6, 9 sau 0 nu garantează pătratul perfect (14 se termină în 4 și nu e) — criteriul funcționează doar pentru a nega.
- 13² = 169, nu 139 — verifică în tabel când nu ești sigur.
- (−5)² = 25 este pătrat perfect; pătratele perfecte nu sunt niciodată negative.
Întrebări frecvente
Ce este un pătrat perfect?
Un număr care este pătratul unui număr natural: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100… De exemplu 49 = 7².
Cu ce cifră se poate termina un pătrat perfect?
Doar cu 0, 1, 4, 5, 6 sau 9. Un număr terminat în 2, 3, 7 sau 8 nu este niciodată pătrat perfect — cel mai rapid argument la exerciții.
Ce este un cub perfect?
Un număr care este cubul unui număr natural: 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216… De exemplu 125 = 5³.
Utile pentru școală· din aceeași rețea