Cilindrul, conul și sfera — arii și volume

Corpurile rotunde explicate simplu: cilindrul circular drept, conul circular drept și sfera, cu formulele de arie și volum și probleme rezolvate.

Cilindrul, conul și sfera — corpurile rotunde

Corpurile rotunde se obțin prin rotirea unor figuri plane: cilindrul dintr-un dreptunghi, conul dintr-un triunghi dreptunghic, sfera dintr-un semicerc.

Corpurile rotunde: cilindrul (raza R, înălțimea h), conul (R, h, generatoarea G) și sfera (raza R).

Cilindrul circular drept

Elemente: raza bazei R, înălțimea h (egală cu generatoarea).

Mărimea	Formula	Exemplu (R = 3, h = 5)
Aria laterală	A_l = 2πRh	30π
Aria totală	A_t = 2πR(R + h)	48π
Volumul	V = πR²h	45π

Desfășurata feței laterale este un dreptunghi cu dimensiunile 2πR (lungimea cercului) și h.

Conul circular drept

Elemente: raza R, înălțimea h, generatoarea G — legate prin Pitagora: G² = h² + R².

Mărimea	Formula	Exemplu (R = 3, h = 4 → G = 5)
Aria laterală	A_l = πRG	15π
Aria totală	A_t = πR(R + G)	24π
Volumul	V = πR²h/3	12π

Conul are volumul o treime din cilindrul cu aceeași bază și înălțime — aceeași regulă ca piramida față de prismă.

Sfera

Mărimea	Formula	Exemplu (R = 3)
Aria sferei	A = 4πR²	36π
Volumul bilei	V = 4πR³/3	36π

Problemă rezolvată (cilindru)

Un rezervor cilindric are raza de 1 m și înălțimea de 2 m. Câți litri încap în el? (π ≈ 3,14)

V = πR²h = 3,14 × 1 × 2 = 6,28 m³ = 6 280 de litri (1 m³ = 1000 l).

Problemă rezolvată (con)

Un con are raza 6 cm și generatoarea 10 cm. Aflați volumul.

Înălțimea: h = √(G² − R²) = √(100 − 36) = 8 cm. V = π × 36 × 8 / 3 = 96π cm³ ≈ 301,4 cm³.

Greșeli frecvente

La con, în aria laterală intră generatoarea (πRG), nu înălțimea.
Volumul conului are împărțirea la 3; al cilindrului nu.
Nu confunda aria sferei (4πR²) cu aria discului (πR²).

Întrebări frecvente

Care sunt formulele cilindrului?

Pentru raza R și înălțimea h: aria laterală = 2πRh, aria totală = 2πR(R + h), volumul = πR²h.

Care sunt formulele conului?

Pentru raza R, înălțimea h și generatoarea G (G² = h² + R²): aria laterală = πRG, aria totală = πR(R + G), volumul = πR²h/3.

Care sunt formulele sferei?

Aria sferei = 4πR², volumul bilei = 4πR³/3.

Ce este generatoarea conului?

Segmentul de la vârful conului la un punct de pe cercul bazei — „latura" care se rotește. Se leagă de rază și înălțime prin teorema lui Pitagora: G² = h² + R².